x-y = 2, xy = 24 হলে x এর ধনাত্মক মান কত?

প্রদত্ত সমীকরণদ্বয় হলো:

\[x - y = 2 \quad \text{(i)}\]

\[xy = 24 \quad \text{(ii)}\]

সমীকরণ (i) থেকে আমরা \(y\) কে \(x\) এর মাধ্যমে প্রকাশ করতে পারি:

\[y = x - 2\]

এখন, \(y\) এর এই মান সমীকরণ (ii)-তে বসিয়ে পাই:

\[x(x - 2) = 24\]

\[x^2 - 2x = 24\]

সমীকরণটিকে সাধারণ দ্বিঘাত সমীকরণের আকারে সাজাই:

\[x^2 - 2x - 24 = 0\]

এটি একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। এটিকে মধ্যপদ বিশ্লেষণ (factoring) করে সমাধান করা যায়:

\[x^2 - 6x + 4x - 24 = 0\]

প্রথম দুটি পদ থেকে \(x\) এবং শেষ দুটি পদ থেকে \(4\) কমন নিয়ে পাই:

\[x(x - 6) + 4(x - 6) = 0\]

এখন, \((x - 6)\) কমন নিয়ে পাই:

\[(x - 6)(x + 4) = 0\]

অতএব, \(x - 6 = 0\) অথবা \(x + 4 = 0\)

প্রথম ক্ষেত্রে:

\[x = 6\]

দ্বিতীয় ক্ষেত্রে:

\[x = -4\]

প্রশ্নে \(x\) এর ধনাত্মক মান চাওয়া হয়েছে। অতএব, \(x = 6\)।

💡 শর্টকাট টেকনিক:

আমরা প্রদত্ত অপশনগুলো ব্যবহার করে \(x\) এর মান পরীক্ষা করতে পারি এবং দেখব কোন মান দুটি সমীকরণকেই সিদ্ধ করে। যেহেতু ধনাত্মক মান চাওয়া হয়েছে, আমরা অপশনগুলো থেকে ধনাত্মক মানগুলো পরীক্ষা করব।

প্রদত্ত সমীকরণ: \(x - y = 2\) এবং \(xy = 24\)

    
• যদি \(x = 3\) হয় (অপশন 1):         

  \(3 - y = 2 \Rightarrow y = 1\)
  তাহলে, \(xy = 3 \times 1 = 3\)। এটি 24 নয়, তাই এই অপশনটি ভুল।

      
    
• যদি \(x = 4\) হয় (অপশন 2):         

  \(4 - y = 2 \Rightarrow y = 2\)
  তাহলে, \(xy = 4 \times 2 = 8\)। এটি 24 নয়, তাই এই অপশনটি ভুল।

      
    
• যদি \(x = 5\) হয় (অপশন 3):         

  \(5 - y = 2 \Rightarrow y = 3\)
  তাহলে, \(xy = 5 \times 3 = 15\)। এটি 24 নয়, তাই এই অপশনটি ভুল।

      
    
• যদি \(x = 6\) হয় (অপশন 4):         

  \(6 - y = 2 \Rightarrow y = 4\)
  তাহলে, \(xy = 6 \times 4 = 24\)। এটি সঠিক, কারণ \(xy\) এর মান 24 এর সাথে মিলে যায়।

      

অতএব, \(x\) এর ধনাত্মক মান 6।